Quelques problèmes en analyse semiclassique
Institution:
Paris 6Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
Dans cette thèse, nous considérons le problème inverse suivant : supposons que H est unopérateur pseudodifférentiel elliptique (a priori inconnu) sur une variété X. De quelles donnéesspectrales avons-nous besoin pour retrouver son symbole "total", autrement dit H microlocalement auvoisinage infinitésimal d'un ensemble (supposé connu) invariant par la dynamique classique engendrée par son symbole principal ?Dans le cas où cet ensemble est une trajectoire périodique elliptique non-dégénérée \gamma, nous montrons que le développement de Taylor du symbole total du hamiltonien quantique dans un système de coordonnées locales autour de \gamma peut être reconstruit à partir descontributions de \gamma à la formule des traces de Gutzwiller associée à une certaine famille d'observables localisées au voisinage de \gamma. Nous donnons également des résultats analogues dans le cas où l'ensemble invariant est un minimum non-dégénéré du symbole principal de H. Nous nous intéressons finalement au cas particulier du précédent où il est su a priori que le hamiltonien est un opérateur de Schrödinger, et à des analogues classiques de nos résultats.
Abstract FR:
In this thesis, we consider the following inverse problem : let us assume that H is an elliptic semiclassical pseudodifferential operateur on a manifold X (a priori unknown). What spectral data do we need in order to recover its ``total'' symbol, namely H microlocally in formal neighborhood of a (known) setwhich is invariant by the classical dynamics generated by its principal symbol ? In the case where this set is an elliptic nondegenerate periodic trajectory \gamma, we show that the Taylor series of the total symbol of the quantum Hamiltonian in a system of local coordinates near \gamma can be recovered from the contributions of \gamma to the Gutzwiller trace formula with observable associated to certain families of observables localized near \gamma. We also give some analog results in the case where the invariant set is a non-degenerate minimum of the principal symbol of H. We are finally interested in the special case of the preceeding where it is known a priori that the Hamiltonian is a Schrödinger operator, and in classical analogs of our results.