Sur quelques sous-variétés d'une puissance cartésienne d'une algèbre de Lie réductive
Institution:
Paris 7Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
In my PHD thesis, we describe some desingularizations of some subvarieties of cartesian powers of a reductive Lie algebra of finite dimension g. We study the nature of the singularities of its normalizations. One of these varieties is the set B(k} of éléments (X₁,. . . , Xk) in gk such that x₁. . . , xk are in a same Borel subalgebra of g. We construct a normalization of this variety and we prove that it has rational singularities. Furthermore, we prove that the nullcone N(k) of gk has rational singularities and the normalizations of the commuting variety C(²) of g and of the variety N⁻¹ (C(²)) have rational singularities, where N is a normalization morphism B(²). Taking P(k) the variety of elements (X₁,. . . , Xk) of gk such that x₁. . . , xk are in a same parabolic subalgebra of g , conjugale under G to a parabolic subalgebra p of g and P(k)u the subvariety of P(k) of elements (X₁,. . . , Xk) of gk such that X₁,. . . , Xk are in the nilpotent radical of a same parabolic subalgebra of g , conjugale under G to p. We describe a desingularization of P(k} and we prove that it is not normal. In addition, we give some property of P(k)u.
Abstract FR:
Dans ma thèse, on décrit quelques désingularisations de certaines sous-variétés des puissances cartésiennes d'une algèbre de Lie réductive de dimension finie g. On étudie alors la nature des singularités de leurs normalisations. Une de ces sous-variétés est le sous-ensemble B(k} des éléments (X₁,. . . , Xk) de gk tels que x₁. . . , xk sont dans une même sous-algèbre de Borel de g. On construit une normalisation de cette variété et on démontre qu'elle a des singularités rationnelles. En outre, on démontre que le nilcône N(k) de g(k) a des singularités rationnelles et que les normalisations de la variété commutante C(₂) de g et de la variété N⁻¹ (C(₂)) où N est un morphisme de normalisation de B(₂), ont des singularités rationnelles. On prend P(k) la variété des éléments (X₁,. . . , Xk) de g tels que x₁. . . X₂ sont dans une même sous-algèbre parabolique de g, conjuguée sous G à une sous-algèbre parabolique p de g et P(k)u la sous-variété de P(k) des éléments (X₁,. . . , X₂) de g(k) tels que x₁. . . Xk sont dans le radical nilpotent d'une même sous-algèbre parabolique de g, conjuguée sous G à p. On décrit une désingularisation de Pk et on démontre qu'elle n'est pas normale. De plus, on donne quelques propriétés de P(k)u.