Abstract FR:

L’objectif principal de cette thèse sera d’étudier l’action des mesures boréliennes sur différents espaces de fonctions. Plus précisément, on cherchera des conditions sur une mesure µ pour qu’un espace de Banach X de fonctions, soit topologiquement équivalent à l’espace Lp(µ), ou un de ses sous-espaces. Pour cela, on s’intéressera d’une part au caractère borné de l’injection canonique j : X ! Lp(µ), puis au plongement inverse afin d’en déduire une équivalence entre les normes k : kX et k : kLp(µ). La caractérisation du plongement continu de l’espace de Hardy Hp(D) dans un espace Lp(µ) est bien connu depuis les travaux de L. Carleson. Nous allons dans un premier chapitre, exposer les différents résultats relatifs aux mesures de Carleson directs et inverses pour les espaces de Hardy. Nous insisterons également sur les outils et théorèmes fondamentaux qui nous servirons tout au long de la thèse et qui sont propres à l’analyse harmonique. Nous commencerons par étudier les mesures de Carleson inverses pour les espaces modèles K Θ. Ces espaces apparaissent naturellement en théorie des opérateurs, ce sont exactement les sous-espaces fermés de H2, invariants par l’adjoint du shift. Nous allons d’une part donner une condition suffisante pour le plongement inverse en suivant les résultats obtenus dans le cas direct par S. R. Treil et A. L. Volberg, puis nous allons établir un deuxième résultat à l’aide d’ensembles dominants. Il s’agit d’une notion que nous avons spécifiquement développée pour les espaces modèles dans l’intention d’obtenir un résultat de plongement inverse. Nous étudierons ensuite les problèmes de plongements dans les espaces de De Branges- Rovnyak H (b). Ces espaces ont été introduits par De Branges et Rovnyak comme des espaces modèles universels. Grâce aux travaux de D. Sarason, on sait aujourd’hui que ces espaces jouent un rôle essentiel en théorie des opérateurs. Leur étude se séparent principalement en deux cas, lorsque b est un point extrême de la boule unité de H1 et lorsqu’il ne l’est pas. On s’intéressera aux plongements directs et inverses principalement dans le cas où b est non-extrême, cela nous conduira à une condition nécessaire et suffisante pour que les normes k : kb et k : kL2(_) soient équivalentes. Nous terminerons ce chapitre avec le fait remarquable qu’il n’existe pas de plongement isométrique sur H (b) ; lorsque b est nonextrême et non constant. Ceci contraste avec la situation du cas de l’espace modèle K Θ, qui est un cas particulier d’espace H (b) (avec b extrême), pour lequel il existe beaucoup de mesures qui fournissent un plongement isométrique. Dans une troisième partie, on s’intéressera aux fonctions holomorphes de plusieurs variables. Nous verrons dans un premier temps comment les mesures et les fenêtres de Carleson se généralisent en dimension n. Nous étudierons ensuite le plongement inverse en adaptant au cas de la boule Bn, ce qui a été fait pour le disque D. Nous terminerons par l’étude des plongements dans les espaces de Müntz M1 _. Ces espaces sont issus d’une généralisation du théorème fondamental de Weierstrass, qui stipuleque l’espace des fonctions polynomiales réelles est dense dans l’algèbre des fonctions continues sur un compact. Nous nous appuierons sur les travaux déjà réalisés sur le plongement direct dans certaines classes d’espaces de Müntz. Nous obtiendrons dans le même esprit, une condition nécessaire pour le plongement inverse. Le cas de la réciproque va poser plus de problème, nous arriverons tout de même à obtenir une caractérisation pour les mesures absoluments continues. On s’intéressera également aux cas des mesures discrètes, ce qui nous permettra d’illustrer nos résultats et de mettre en lumière les difficultés dans notre recherche d’une caractérisation générale