Aspects globaux de la réductibilité des cocycles quasi-périodiques à valeurs dans des groupes de Lie compacts semi-simples
Institution:
Paris 6Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
Cette thèse porte sur l'étude des cocycles quasi-périodiques à valeurs dans des groupes de Lie compacts semi-simples. Nous nous restreindrons au cas des cocycles à une fréquence. Nous démontrons que, pour un ensemble de mesure de Le besguepleine de fréquences, l'ensemble des cocyclesC^{\infty } qui sontC^{\infty }-réductibles sont C^{\infty }-denses. Le premier pas sera l'obtention de deux invariants de la dynamique, qu'on appellera \textit{énergie} et \textit{degré},qui distinguent en particulier les cocycles réductibles des cocycles non-réductibles. On entamera ensuite la démonstrationdu théorème principal. Nous démontrons dans un second temps qu'un algorithme dit de \textit{renormalisation} permet de ramener l'étude de tout cocycle à celle des perturbations de modèles simples indexés par le degré. Nous analysons ensuiteces perturbations par des méthodes inspirés de la \textit{théorie K. A. M. }. En particulier, nous démontrons qu'un cocycle {\infty } mesurablement réductible à une constante diophantienne est alors C^{\infty }-réductible.
Abstract FR:
In this PhD thesis we study quasiperiodic cocycles in semi-simple compact Lie groups. For the greatest part of our study,we will focus ourselves to one-frequency cocyles. We will prove that C^{\infty }-reducible cocycles are dense in theC^{\infty } topology, for a full measure set of frequencies. We will firstly define two invariants of the dynamics which we will call\textit{energy} and \textit{degree} and which give a preliminary distinction between reducible and non-reducible cocycles. We will then take up the proof of the density theorem. We will show that an algorithm of \textit{renormalization} convergesto perturbations of simple models, indexed by the degree. Finally, we will analyse these perturbations using methods inspiredby \textit{K. A. M. } theory. In this context we will prove that if a C^{\infty } cocycle is measurably reducible to adiophantine constant, it is actually C^{\infty }-reducible.