Abstract EN:

Nous proposons dans cette thèse un nouveau processus de déformation des algèbres de Kac-Moody (K-M) et de leurs représentations. La direction de déformation est indiquée par une collection de nombres, appelée coloriage. Les nombres naturels mènent par exemple aux algèbres classiques, tandis que les nombres quantiques mènent aux algèbres quantiques. Nous établissons dans un premier temps des conditions nécessaires et suffisantes sur les coloriages, de telle sorte que le processus dépend polynômialement d'un paramètre formel et fournit les algèbres enveloppantes quantiques généralisées (algèbres GQE). Nous levons par la suite les restrictions et montrons que le processus existe toujours via les algèbres de Kac-Moody colorées. Nous formulons la conjecture GQE, qui prévoit que toute représentation dans la catégorie Oint d'une algèbre de K-M peut être déformée en une représentation d'une algèbre GQE associée. Nous donnons divers exemples pour lesquels la conjecture est vérifiée et réalisons une première étape vers sa résolution en prouvant que les algèbres de K-M sans relations de Serre peuvent être déformées en des algèbres GQE sans relations de Serre. Admettant la conjecture GQE, nous établissons un résultat analogue dans le cas des algèbres de K-M colorées, nous prouvons que les théories des représentations déformées sont parallèles à le théorie classique, nous explicitons une présentation de Serre déformée pour les algèbres GQE, nous prouvons que ces dernières sont les représentants d'une classe naturelle de déformations formelles des algèbres de K-M et sont h-triviales en type fini. En guise d'application, nous expliquons en termes d'interpolation les dualités de Langlands classique et quantique entre représentations d'algèbres de Lie et nous proposons une nouvelle approche afin de résoudre une conjecture apparentée de Frenkel-Hernandez. En général, nous prouvons qu'il est possible d'interpoler les représentations de deux algèbres d< K-M colorées isogéniques par les représentations d'une troisième. En observant que la conjecture GQE est vérifiée dans le cas des algèbres quantiques standards, nous donnons une nouvelle preuve de la dualité de Langlands classique mentionnée précédemment (les premières preuves sont dues à Littelmann et McGerty).