Décompositions motiviques des variétés de Severi-Brauer généralisées et isotropie des involutions unitaires
Institution:
Paris 6Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis consists of two main parts. The first one is devoted to the study of Chow motives of generalized Severi-Brauer varieties. According to a result of Chernousov and Merkurjev, the Chow motive with coefficients in a finite field of any generalized Severi-Brauervariety decomposes in an essentially unique way into a sum of indecomposable motives. We relate a number of motives of usual Severi-Brauer varieties in this decomposition with the dimension of a certain subgroup of rational cycles. In particular, we prove that the motive of a generalized Severi-Brauer variety is decomposable, except the cases, where motivic indecomposability was proven by N. Karpenko. The second part of the thesis is the joint work with N. Karpenko. We prove the so-called Unitary Isotropy Theorem, a result on isotropy of a unitary involution. The analogous previously known results on isotropy of orthogonal and symplectic involutions as well as on hyperbolicity of orthogonal, symplectic, and unitary involutions are formal consequences of this theorem. A component of the proof is a study of the quasi-split unitary grassmannians and the Steenrod operations on them.
Abstract FR:
Cette thèse contient deux parties principales. La première partie est dédiée à l'étude des motifs de Chow des variétés de Severi-Brauer. D'après un résultat de Chernousov et Merkurjev, le motif d'une variété de Severi-Brauer généralisée à coefficients finis se décompose de manière unique en une somme directe de motifs indécomposables. Nous exprimons le nombre de motifs d'une variété de Severi-Brauer classique présents dans cette décomposition en fonction de la dimension de certains sous-groupes de cycles rationnels. Comme conséquence, nous montrons que le motif d'une variété de Severi-Brauer généralisée est décomposable, à l'exception de deux cas où la decomposabilité motivique été démontrée par N. Karpenko. La deuxième partie est un travail commun avec N. Karpenko. Nous démontrons un résultat sur l'isotropie d'une involution unitaire, le Théorème d'Isotropie Unitaire. Les résultats analogues déjà connus sur l'isotropie des involutions orthogonales et symplectiques, ainsi que sur l'hyperbolicité des involutions orthogonales, symplectiques et unitaires sont des conséquences formelles de ce théorème. Une composante de la preuve est l'etude des grassmanniennes unitaires quasi-déployée et des opérations de Steenrod sur ces variétés.