Pièges dans la théorie des feuilletages : exemples et contre-exemples
Institution:
École normale supérieure (Lyon ; 1987-2009)Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
In this text we deal with two main questions. The first one is to know if geodesible vector fields on closed 3-manifolds have periodic orbits. The second one studies the relation between the concepts of amenability and having Følner leaves in the context of foliations. The common point is the use of plugs. Plugs are a useful tool for changing a foliation inside a foliated chart. The first chapter is dedicated to the first question. A non singular vector field is geodesible if there is a Riemannian metric of the ambient manifold making the orbits of the vector field geodesics. Let X be a geodesible vector field on a closed oriented 3-manifold, and assume that the 3-manifold is either diffeomorphic to S3 or has non trivial second homotopy group. The main theorems of this chapter said that under this assumptionsX has a periodic orbit if it is real analytic or if it preserves a volume. In the second chapter we talk about the second question. In 1983, R. Brooks stated that a foliation with all its leaves Følner is amenable, with respect to an invariant measure. Using a plug, we will construct a counter-example of this statement, that is a non-amenable foliation whose leaves are Følner. We will then show that if we assume that the foliation is minimal, that is that all the leaves are dense, the fact that the leaves are Følner implies that the foliation is amenable. This hypothesis was suggested by V. A. Kaimanovich. The proof uses a theorem by D. Cass that describes minimal leaves.
Abstract FR:
Dans ce travail, nous nous interessons a deux questions. La premiere est de savoir si les champs de vecteurs non singuliers et geodesibles sur une variete fermee de dimension trois ont des orbites periodiques. La seconde, etudie les relations entre les feuilletages moyennables et les feuilletages dont toutes les feuilles sont Følner. L’idee commune dans ces deux problemes est l’utilisation de pieges: un outil qui nous permet de changer un feuilletage a l’interieur d’une carte feuilletee. Dans le premier chapitre nous abordons la premiere question. On dit qu’un champ de vecteurs non singulier est geodesible s’il existe une m´etrique riemannienne sur la variete ambiante pour laquelle toutes les orbites sont des g´eod´esiques. Soit X un tel champ de vecteurs sur une variete fermee de dimension trois. Supposons que la variete est diffeomorphe a S3 ou son deuxieme groupe d’homotopie est non trivial. Pour ces varietes, on montre que si X est analytique reel ou s’il preserve une forme volume, il possede une orbite periodique Le deuxieme chapitre est dedie a la seconde question. En 1983, R. Brooks avait annonce qu’un feuilletage dont presque toutes les feuilles sont Følner est moyennable. A l’aide d’un piege, on va construire un contre-exemple a cette affirmation, c’est-a-dire un feuilletage non moyennable dont toutes les feuilles sont Følner. Nous cherchons ensuite des conditions suffisantes sur le feuilletage pour que l’enonce de R. Brooks soit valable. Comme suggere par V. A. Kaimanovich, une possibilite est supposer que le feuilletage soit minimal. On montre que cette hypoth`ese est suffisante en utilisant un theoreme de D. Cass que decrit les feuilles minimales.