Dimension moyenne et espaces d'applications pseudo-holomorphes
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis covers two themes. The first begins by evaluating the width of unit balls in Banach spaces. Bounds for these quantities are found, focusing on the case of l^p balls. Widths are also related to mean dimension, an adaptation of entropy to cases where it would be infinite. However, this dynamical invariant turns out to be inefficient if one wishes to distinguish between the dynamical systems given by the unit ball of l^p(\Gamma; \rr). An alteration of mean dimension is thus introduced to deal with this case, but it is no longer a topological invariant but Hölder covariant. This is still sufficient to obtain obstructions. Another variant which relates to Von Neumann dimension is also introduced, following Gromov, and using an extension of the Orstein-Weiss lemma some (but not all) properties are shown. The second theme deals with pseudo-holomorphic curves. We first modify a result on the gluing of two pseudo-holomorphic curves so as to have a nore precise behaviour of the glued curve. Then pseudo-holomorphic cylinders are constructed from a chain of pseudo-holomorphic curves. Under strong assumptions, we obtain an interpolation result on these cylinders. This interpolation result has many consequences, in particular, that thedifferent cylinders obtained are simple, have different images, and form a family of infinite dimension. This theme is reunited with the first as this family has also positive mean dimension. An appendix contains an adaptation of "Taubes toolbox" (methods of elliptic analysis developed by Taubes in "The existence of anti-self-dual structures") to the 2-dimensional case.
Abstract FR:
Deux thèmes sont présents. Le premier commence par l'évaluation des largeurs de boules unités dans des espaces de Banach. Des bornes pour ces quantités sont obtenues, le cas des boules l^p est plus particulièrement étudié. Les largeurs interviennent aussi dans la définition de la dimension moyenne. Cependant, cet invariant dynamique est insuffisant pour différencier les systèmes donnés par la boule unité de l^p(\Gamma;\rr). Une modification de la dimension moyenne est ainsi introduite pour s'occuper de ces cas, elle n'est cependant plus un invariant topologique mais est Hölder covariante. Ceci est encore suffisant pour obtenir des obstructions. Une autre variante, dim_l^p, qui est reliée à la dimension de Von Neumann est aussi introduite s'inspirant de résultats de Gromov. Une généralisation du lemme d'Ornstein-Weiss est employée pour montrer certaines propriétés. Le second thème traite des courbes pseudo-holomorphes. Un résultat sur le recollement de deux courbes pseudo-holomorphes est d'abord démontré; il permet d'avoir une idée plus précise du comportement de la courbe recollée. Ensuite, nous nous intéressons à former des cylindres pseudo-holomorphes depuis une chaîne de courbes pseudo-holomorphes, et sous de fortes hypothèses, un résultat d'interpolation est obtenu. L'interpolation permet entre autres de montrer que les cylindres obtenus sont simples, d'images distinctes, et forment une famille de dimension infinie (même de dimension moyenne positive). Un appendice contient une adaptation de la "boîte à outils" de Taubes (des méthodes d'analyse elliptique introduite dans "The existence of anti-self-dual structures") au cas de dimension