Solutions spatialement homogènes et adaptées au sens de Caffarelli, Kohn et Nirenberg des équations de Navier-Stokes
Institution:
Evry-Val d'EssonneDisciplines:
Directors:
Abstract EN:
We study spatially homogeneous statistical solutions of Navier-Stokes equations in the whole space in dimension two or three, i. E. Solutions with random initial data and space translation invariant laws. In chapter 3, we show the existence of spatially homogeneous statistical solutions which are suitable in the sense of Caffarelli, Kohn and Nirenberg. The proof uses a construction due to Vishik and Fursikov that we improve, and a representation formula for the pressure which gives us new estimates velocity. Chapter 5 is devoted to the construction of individual solutions in dimension two with infinite energy. We prove in particular that Navier-Stokes equation have a unique global solution which is uniformly locally square integrable, and we mention the links between these individual solutions and statistical solutions. We also give a few results related to the Leray projector in spaces of functions non vanishing at infinity (chapter 2), and recall the main points of the study of spatially homogeneous measures (appendix B).
Abstract FR:
Nous étudions les solutions statistiques spatialement homogènes des équations de Navier-Stokes dans l'espace entier en dimension deux et trois, c'est-à-dire les solutions associées à une donnée initiale aléatoire et dont la loi est invariante par translation en espace. Dans le chapitre 3, nous montrons l'existence de solutions statistiques spatialement homogènes adaptées au sens de Caffarelli, Kohn et Nirenberg. La preuve utilise une construction due à Vishik et Fursikov que nous améliorons ainsi qu'une formule de représentation de la pression qui nous donne de nouvelles estimations du champ de pression et de la vitesse. Dans le chapitre 4, nous étendons ce résultat au cas des équations de Navier-Stokes stochastiques. Le chapitre 6 est consacré à la construction de solutions individuelles en dimension deux, d'énergie infinie. Nous prouvons notamment que les équations de Navier-Stokes ont une unique solution globale de carré uniformément localement intégrable, et nous indiquons les liens entre ces solutions individuelles et les solutions statistiques. Nous donnons aussi quelques résultats concernant le projecteur de Leray dans des espaces de fonctions ne s'annulant pas à l'infini (chapitre 2), et rappelons les principaux points de l'étude des mesures spatialement homogènes (annexe B).