Abstract FR:

Le sujet principal de cette these est l'etude microlocale semi-classique des systemes de n operateurs pseudo-differentiels qui commutent sur une variete de dimension n, au voisinage d'un point fixe du flot hamiltonien completement integrable associe. La presence d'une telle singularite influence aussi bien la dynamique locale du systeme classique que la topologie globale des feuilles lagrangiennes. Cette these s'attache a deceler les repercussions quantiques de ces aspects. Sous des hypotheses de non-degenerescence pour la singularite, mais sans hypothese d'analyticite, l'aspect local est resolu par l'enonce d'une forme normale microlocale. L'aspect global est discute du point de vue de la monodromie du systeme, qui est une obstruction a l'existence de variables actions-angles globales. La monodromie quantique est definie comme un invariant du spectre conjoint du systeme quantique. Les systemes possedant une singularite de type focus-focus, comme le probleme du pendule spherique etudie par duistermaat, sont concernes par ces deux aspects. Nous les traitons en detail, en determinant, dans l'esprit des travaux de colin de verdiere et parisse, les conditions de bohr-sommerfeld singulieres dont les solutions donnent le spectre conjoint pres de la valeur critique. Elles nous permettent d'obtenir des informations asymptotiques et exactes sur la structure du spectre, corroborees par les resultats numeriques de child. Nous traitons aussi dans cette these le probleme de l'abandon de l'hypothese de complete integrabilite, dans le cadre des etats semi-excites de sjostrand. Une variante de la forme normale de birkhoff quantique est presentee, qui fournit une nouvelle approche du probleme de la determination du spectre en presence de frequences resonnantes. Nous appliquons la methode au cas de la resonance 1 : 1 : : 1.