Abstract FR:

Ce travail traite essentiellement de problèmes de construction de sous-variétés minimales, d'applications harmoniques et de morphismes harmoniques, caractérisés comme des applications harmoniques semi-conformes. Dans un premier temps, nous introduisons une notion nouvelle d'application symplectique harmonique. Cette notion nécessite une forme presque symplectique sur le domaine et une structure presque complexe. Elle s'impose comme ce qui manque à une application holomorphe entre variétés presque hermitienne pour que ses fibres soient minimales. Le cadre naturel est celui des variétés tamed : variétés munies d'une forme presque symplectique et d'une structure presque complexe qui sont compatibles au sens où ces deux structures définissent une métrique riemannienne. Cette approche peut s'appliquer aux sous-variétés minimales, applications harmoniques, morphismes harmoniques. L'idée est que la condition de minimalité d'une sous-variété, ou d'une fibre d'une submersion ou la condition d'harmonicité, qui sont des conditions du deuxième ordre, peuvent se ramener à deux conditions du premier ordre, faisant intervenir respectivement la structure presque symplectique et la structure presque complexe. Nous construisons des familles nouvelles de morphismes harmoniques entre sphères. Cette approche permet également d'introduire la notion de factorisation d'un morphisme harmonique donné ø : (M[4], Ω, J) → (N[2], Ω[N], J[N]) entre variétés presque hermitiennes. Dans un second temps, nous construisons des sous-variétés minimales dans les sphères déformées à l'aide d'applications isoparamétriques, méthode comparable à une méthode de type "minimaux". Nous nous intéressons enfin aux applications semi-conformes submersives ø d'un ouvert M ⊂ R[n+1] → S[n] (n ≥ 2) à fibres en droites. Lorsque n = 2, nous déterminons le moduli space de toute solution quadratique et sa factorisation par le groupe des isométries de R[3]. Si n ≥ 3, nous classifions toutes les applications ø précédentes à l'aide des champs conformes sur S[n]. Des résultats de p-harmonicité sont utilisés.