Abstract FR:

On etudie le probleme suivant, a propos des espaces de suites de reels stables quand on diminue les valeurs absolues des composantes d'une suite : un tel sous-espace x hereditaire de l'espace polonais produit r de toutes les suites de reelles etant donne, peut-on raffiner sa topologie induite (topologie de la convergence simple pour les fonctions de dans r) de facon a obtenir une topologie d'espace vectoriel metrique complet ? et complet separable ? le resultat principal, prouve dans la partie 4, est que si x est analytique comme partie de r , on a une dichotomie (d) : - ou bien x est polonisable comme espace vectoriel. - ou bien on peut plonger dans x, en un sens fort, un espace fortement non polonisable, a savoir l'espace c 0 0 - qui est trop petit, meme pas completement metrisable - , ou l'espace l des suites bornees - qui est trop gros, pas separable. De plus on obtient la forme generale des x polonisables. Dans la partie 1 on etudie un espace connu comme polonais x, et on montre notamment qu'il y a une distance compatible semi-continue inferieurement pour la topologie produit. On en deduit dans la partie 2 que x est forcement ferme, 0 2 (f ) ou ii 0 3 (f ). Enfin on en tire des proprietes sur les espaces completement metrisables dans la partie 3. Pour eux (d) devient, proprietes vraie meme si x n'est pas analytique : x est separable ou l se plonge dans x. Tout cela suggere une conjecture (c), si x est analytique : - ou bien on peut plonger c 0 0 dans x. - ou bien x est completement metrisable et alors il est polonisable ou bien on peut y plonger l. On examine ceci dans la partie 5 et on montre que (c) est vraie si x est 0 3, et si x est analytique on obtient seulement : si c 0 0 ne se plonge pas dans x, on peut encadrer x par un polonais y et un espace y complet maximal simplement associe a y : y x y. On conclut par quelques exemples et contre-exemples.