Abstract FR:

Cette these traite des bases de grobner a coefficients dans un anneau principal (z dans ce resume). Une nouvelle notion, celle de base de grobner minimale, y est definie. On montre qu'il y a unicite pour les termes dominants de ces bases minimales. Celles-ci permettent de clarifier la relation qui existe entre les bases de grobner faibles et fortes. Des algorithmes sont donnes pour calculer des bases de grobner faibles, minimales, et fortes ; ainsi que pour passer d'un type de ces bases a l'autre. Les bases de grobner minimales permettent de montrer que certains nombres premiers apparaissent toujours dans les denominateurs des coefficients d'une base de grobner unitaire d'un ideal de qx 1 x n. Elles permettent aussi de donner une reponse aux problemes de reduction d'une base de grobner d'un ideal de qx 1, , x n modulo un nombre premier. Les problemes d'extension (puis de restriction) d'un ideal i de zx 1, , x n a qx 1, , x n sont etudies ainsi que les liens entre les bases de grobner de i, iq et iqzx 1, , x n, ce qui produit des invariants independant de l'ordre monomial choisi. Un lien etroit entre les problemes d'extension et de reduction modulo un nombre premier est etabli.