Abstract FR:

L'objet de cette thèse est l'étude de la topologie et de la géométrie des variétés riemanniennes compactes de courbure presque positive ou presque négative. L'outil principal que nous utilisons consiste en une extension intégrale de la méthode de Bochner. Cette méthode, à présent classique en géométrie différentielle, peut se schématiser de la manière suivante: nous commençons par exprimer un invariant topologique ou géométrique d'une variété riemannienne compacte m à travers le noyau d'un opérateur de Schrodinger p agissant sur les sections d'un fibre vectoriel riemannien e sur m. (par opérateur de Schrodinger, nous entendons un opérateur différentiel qui peut s'exprimer comme la somme du Laplacien brut lié à la connexion et d'un potentiel v qui est un champ d'endomorphismes symétriques du fibre). La méthode de Bochner classique se traduit alors par: 1) si v est semi-positif, alors toute section de est parallèle. (ceci conduit à des théorèmes de fibration et de trivialisation); 2) si, de plus, il existe un point ou v est défini positif; alors est réduit à zéro. (ceci donne des théorèmes d'annulation). Nous démontrons que: 1) si l'intégrale sur m de la partie négative de la plus petite valeur propre de v est suffisamment petite, alors toute section de est presque parallèle et, en particulier, ne s'annule jamais; 2) si, de plus, l'intégrale de la partie positive de la plus petite valeur propre de v est strictement plus grande que l'intégrale de sa partie négative, alors est réduit à zéro. Nous déduisons ensuite de ce résultat divers théorèmes de fibration et d'annulation