Abstract FR:

Cette thèse porte sur l'étude de la topologie des fibres d'un polynôme complexe. Dans les préliminaires, on présente les différentes techniques qui seront utilisées commes les champs de vecteurs stratifiés et les conditions de contrôles sur ces champs, les variétés toriques. On présente aussi quelques résultats préparatoires sur les propriétés de la compactification torique des fibres d'un polynôme. Le chapitre 2 donne les principaux résultats de cette thèse dans le cas d'une compactification torique par poids de l'espace affine Cn. On démontre la trivialité affine d'un polynôme à l'aide de l'hypothèse de modération sur le gradient par poids de Malgrange-Paunescu : ||grad w f(z)|| w >1 [w supérieur ou égal à 1]. On démontre aussi grâce à la même hypothèse de modération sur le gradient la propriété locale suivante : le champ de vecteurs de Kuo-Paunescu après modification torique donne un champ de vecteurs contrôlé par rapport au diviseur à l'infini. Cette dernière condition nous donne la condition la plus importante : la condition non-caractéristique. On en déduit la trivialité locale en un point du diviseur. Le chapitre 3 est basé sur les travaux de Hamm, Lé et Mebkhout. Il décrit la correspondance entre la condition non-caractéristique obtenue au chapitre 2 et la notion de cycles évanescents ainsi que celle de trivialité locale. Le chapitre 4 présente la généralisation des théorèmes du chapitre 2 pour une compactification torique quelconque de l'espace affine Cn.