Abstract FR:

Dans ce travail nous nous interessons aux problemes d'evolution des fluides de grade deux et trois, en dimension trois, quant a la question de l'existence globale en temps de la solution faible et de sa regularite. Nous considerons, egalement, un cas particulier du probleme stationnaire des fluides de grade deux, en dimension trois. Nous etudions ces problemes dans un domaine borne de r#3, dans un premier temps simplement connexe, dans un deuxieme temps non simplement connexe, cas non envisage dans les travaux anterieurs. Dans une premiere partie, nous montrons que la methode de decomposition avec base speciale introduite par d. Cioranescu et e. H. Ouazar, permet de demontrer l'existence globale en temps de la solution faible pour des fluides de grade deux dans le cas general (#1 + #2 = 0), en dimension trois, avec des donnees petites. Contrairement au cas plus simple #1 + #2 = 0, recemment etudie par d. Cioranescu et v. Girault, la decroissance exponentielle en fonction du temps de la norme h#1 de la vitesse n'est pas obtenue pour toute donnee. Ce fait, qui a conduit certains auteurs a affirmer, en contradiction avec notre travail, que la methode de decomposition ne s'applique pas au cas #1 + #2 = 0, complique substantiellement la demonstration d'existence de la solution. Les resultats de regularite, qui conduisent, en particulier, a une solution au sens classique, sont obtenus moins directement que dans le cas #1 + #2 = 0, a cause d'une equation de transport beaucoup plus complexe. La deuxieme partie est consacree au probleme stationnaire de grade deux, dans le cas #1 + #2 = 0, en dimension trois. Par rapport au probleme en dimension deux, etudie par e. H. Ouazar, la norme h#3 de la vitesse, en dimension trois, n'est pas bornee pour toute donnee. Cependant, par une methode speciale, utilisant conjointement une majoration h#1 de la vitesse, une pseudo continuite par rapport a la donnee (effective pour une norme de la vitesse dans h#3 petite) et une inegalite polynomiale (verifiee par la norme h#3 de la vitesse), nous montrons l'existence, l'unicite, la dependance continue par rapport a la donnee et la regularite de la solution, pour une donnee petite. Enfin, la troisieme partie etudie le probleme des fluides de grade trois, en dimension trois, mais sans supposer une condition qui, dans le travail de c. Amrouche et d. Cioranescu, donnait une majoration h#1 de la vitesse pour toute donnee. Les difficultes, dans le cas du grade trois, sont pratiquement les memes que pour le grade deux, aussi la methode d'etude, dans cette partie, est similaire a celle de la premiere partie, avec quelques complications, d'ordre technique, supplementaires.