Abstract FR:

On generalise le theoreme de l'element primitif (etabli en 1966 pour un anneau local de corps residuel infini) aux anneaux semi-locaux en montrant que toute extension separable de rang m d'un anneau semi-local est monogene si, et seulement si, le quotient de l'anneau par son radical ne comporte aucun corps de cardinal strictement inferieur a m. Cela permet de construire des extensions separables qui soient monogenes et d'autres qui ne le soient pas. Par ailleurs on etudie a quelles conditions un anneau commutatif possede une extension cyclique cubique monogene de discriminant donne. Il est necessaire qu'une equation a deux inconnues ait une solution, et, selon des conditions portant sur 2 et sur 3, la reciproque est parfois vraie. Examinant ensuite les extensions cycliques cubiques monogenes de discriminant 1 de l'anneau des entiers d'un corps quadratique (ainsi ni 2 ni 3 n'est inversible) on trouve une condition necessaire et suffisante pour qu'existe une telle extension. Cette condition s'exprime sous la forme d'existence ou non de certaines solutions (precisees) d'une equation diophantienne