Abstract FR:

La première partie de cette thèse est consacrée à l'élaboration d'une représentation probabiliste de la solution de l'équation de Navier-Stokes considérée dans un domaine [oméga] de R3, régulier et borné. A la solution qui représente la vitesse d'un fluide visqueux et incompressible dans le domaine est associé le tourbillon. Ce dernier sera interprété comme la densité d'un processus de branchement, les phénomènes aléatoires de branchements correspondant à des créations ou des destructions de masse du tourbillon. Dans la deuxième partie, nous considérons certaines E. D. S. Bidimensionnelles présentant localement des coefficients de dérivé et de diffusion de très grande amplitude. Nous proposons un schéma de simulation adapté à cette particularité. La méthode développée ici conduit à remplacer la simulation de l'E. D. S. Initiale, par la simulation de deux E. D. S. Unidimensionnelles à coefficients réguliers. Dans la troisième partie, nous étudions l'erreur commise en remplaçant une diffusion régulière par l'approximation donnée par le schéma d'Euler, dans l'espérance de différentes fonctionnelles de la trajectoire. Une majoration, établie dans le cas de l'intégrale d'une fonction mesurable et bornée de la trajectoire, permet de proposer une série d'applications dont une majoration de l'erreur dans l'approximation de la solution d'un problème de Gauchy par des méthodes probabilistes.