Abstract FR:

On cherche à comprendre quelle est l'information dynamique portée par la topologie de l'une des variétés invariantes associées a un difféomorphisme hyperbolique. Bonatti et Langevin ont prouvé que deux dynamiques hyperboliques de surfaces compactes sont conjuguées (à itération près) sur un voisinage de l'ensemble hyperbolique si et seulement si les unions respectives de leurs variétés invariantes (stable et instable) sont homéomorphes. Watkins a donné une classification topologique des variétés instables des -fers a cheval. Cette classification permet d'exhiber des varietes instables homéomorphes issues de dynamiques non-conjuguées. Ici, dans le cadre général des difféomorphismes hyperboliques, on donne d'abord une réduction du problème de conjugaison des variétés instables à un problème combinatoire. On se restreint ensuite aux systèmes admettant une partition à un rectangle. On trouve une caractérisation complète des variétés instables de tels systèmes aussi bien à homéomorphisme près qu'à conjugaison près. Si la variété instable n'est pas trop symétrique (exemples de Watkins), les défauts de symétrie permettent de reconstituer de façon unique la dynamique sous-jacente. De plus, le lien entre dynamique et topologie possède une interprétation algébrique : on donne un algorithme d'utilisation immédiate qui décide si deux variétés instables sont conjuguées et/ou homéomorphes.