Abstract FR:

Le cadre général de cette thèse est l'étude de modèles markoviens de systèmes surs de fonctionnement. Le premier aspect de notre travail concerne le développement et l'étude de modèles markoviens pour évaluer la fiabilité d'un logiciel. On présente un modèle général de type structurel, en temps discret puis continu, qui inclut plusieurs modèles classiques. Ce modèle permet la prise en compte d'un certain nombre de caractéristiques peu ou pas introduites jusqu'ici: Plusieurs classes de fautes, des délais aléatoires de reprise de l'exécution et le phénomène des occurrences groupées de défaillances. Nous donnons les outils analytiques et numériques pour exploiter le comportement transitoire de notre modèle. En particulier, on évalue la distribution jointe du nombre de défaillances et de services délivrés sur un intervalle fini. Nous établissons également quelques résultats asymptotiques sur les fonctions espérances associées à ces variables aléatoires. La seconde partie se focalise sur la propriété d'agrégation exacte de chaînes de Markov. Des conditions nécessaires et suffisantes ont été obtenues pour qu'une chaîne de Markov à temps discret, à espace d'état dénombrable, irréductible ou absorbante, puisse être transformée en une nouvelle chaîne markovienne mais dont l'espace d'état soit constitué de classes d'états de la chaîne d'origine. En particulier, on montre qu'une large classe de chaînes de Markov absorbantes est équivalente à celle des chaînes irréductibles au sens de l'agrégation exacte. Lorsque l'espace d'état original est fini, nous avons implanté des algorithmes qui calculent l'ensemble des distributions initiales pour lesquelles l'agrégation exacte souhaitée par l'utilisateur peut être réalisée. Si la chaîne de Markov évolue en temps continu, on montre que sous la seule condition de posséder un semi-groupe de transition uniforme, l'étude de la propriété d'agrégation exacte peut être replacée dans le cadre temps discret. Enfin un critère simple a été mis au point pour détecter des partitions de l'espace d'état ne permettant pas une agrégation exacte