Ordre d'annulation et ensembles nodaux de solutions d'équations elliptiques du second ordre
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Abstract EN:
On a closed manifold, we study the vanishing order of a solution to the Schrödinger equation, depending on the scalar potential. First we establish a quantitative version of Carleman estimate for the Schrödinger operator. Then we derive from this an upper bound on the vanishing order, depending on the scalar potential which can be Lipschitz or bounded. Since these estimates are realised through doubling inequalities, we can then deduce some estimates on the measure of the nodal sets and critical sets of solutions. Finally, we shown our results are sharp by constructing explicit examples.
Abstract FR:
Sur une variété Riemannienne compacte, on s’intéresse à l’ordre d’annulation d’une solution de l’équation de Schrödinger stationnaire en fonction du potentiel scalaire. Dans un premier temps, nous établissons une inégalité de Carleman quantitative pour l’opérateur de Schrödinger associé à cette équation. Grâce à elle nous obtenons une majoration de l’ordre d’annulation en fonction du potentiel scalaire, qu’il soit Lipschitz ou borné. Ces majorations étant réalisées grâce aux inégalités de doubling, nous en dérivons ensuite plusieurs estimations sur la mesure des ensembles nodaux et critiques des solutions. Finalement, nous montrons l’optimalité de nos résultats grâce à la construction d’exemples explicites.