Abstract FR:

L'objet de cette these est l'etude des surfaces a courbure moyenne constante h non nulle, ou h-surfaces, dans les espaces euclidien et hyperbolique. Etant donnee c une courbe de jordan, on voudrait comprendre la topologie et la geometrie des h-surfaces dont le bord est c. Le chapitre 1 porte sur la symetrie et la rigidite des h-surfaces non compactes, proprement plongees dans l'espace hyperbolique dont le bord est plan. Cette etude est completee par une recherche de conditions geometriques forcant la surface a etre contenue dans un demi-espace. Dans les chapitres 2 et 5, on s'est interesse aux surfaces compactes. Sous certaines conditions on obtient les resultats suivants : si la courbure moyenne est assez petite en fonction de c, alors (i) les petites h-immersions sont plongees et topologiquement des disques, et (ii) les grandes h-surfaces plongees sont a genre zero et ressemblent a un grand morceau de sphere. Le probleme de compacite est traite dans les chapitres 3 et 4. L'objectif de ce type de resultats est de controler la limite d'une suite de h-surfaces dont les bords convergent vers un point. Le theoreme etabli pour des grandes h-surfaces compactes plongees de l'espace hyperbolique s'etend aux h-surfaces non compactes proprement plongees.