Algèbres amassées affines
Institution:
Lyon 1Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
Using the cluster category and the Caldero-Chapoton map, we introduce generic variables in an acyclic cluster algebra A(Q). We prove that cluster monomials in an acyclic cluster algebra naturally arise as generic variables. We give an explicit description of these generic variables in terms of Auslander-Reiten theory of the path algebra of Q. We prove that the generic variables form a Z-basis in a certain class of cluster algebras of affine type, including affine type A. In this study, we get interested in the behaviour of the values of the Caldero-Chapoton map for regular modules over the algebra of an acyclic quiver Q. We introduce a generalization of Chebyshev polynomials and prove that they arise naturally in this context. This allows to prove multiplication formulas for variables associated to regular modules when Q is affine. Using cluster characters, we give a simplified proof of a result of Buan, Marsh and Reiten about denominators of cluster variables. This result states that in an acyclic cluster algebra, denominators of cluster variables viewed as Laurent polynomials in any cluster can be interpreted through the cluster-tilting theory of the associated cluster category. Finally, we investigate non-simply-laced cluster algebras through simply laced cluster algebras endowed with a certain group of automorphisms. We prove that if A is an antisymmetrizable matrix with a group of admissible automorphisms G, then the cluster algebra associated to the quotient matrix A/G is a subalgebra of a certain quotient of the cluster algebra associated to A. When possible, we give an interpretation in terms of invariant objects in the associated cluster category.
Abstract FR:
A l'aide de la catégorie amassée et de l'application Caldero-Chapoton, nous introduisons les variables génériques dans une algèbre amassée acyclique A(Q). Nous donnons une description explicite de ces variables en termes de théorie d'Auslander-Reiten de l'algèbre des chemins de Q. Nous montrons que ces variables génériques forment une Z-base dans une certaine classe d'algèbres amassées affines comprenant les algèbres amassées de type affine A. Nous nous intéressons au comportement des valeurs de l'application Caldero-Chapoton pour des kQ-modules réguliers. Nous introduisons une généralisation des polynômes de Chebyshev apparaissant naturellement dans ce contexte. Ceci nous permet de montrer des formules de multiplications pour les variables généralisées associées aux kQ-modules réguliers. A l'aide des caractères d'amas, nous donnons une démonstration simplifiée d'un résultat de Buan, Marsh et Reiten. Ce résultat donne une interprétation des dénominateurs des variables d'amas exprimées dans n'importe quel amas en termes de théorie de basculement de la catégorie amassée d'un carquois acyclique. Enfin, nous proposons une approche des algèbres amassées non simplement lacées à l'aide d'algèbres amassées simplement lacées munies d'un groupe d'automorphismes. Nous montrons ainsi que si A est une matrice anti-symétrisable munie d'un groupe d'automorphismes admissibles G, l'algèbre amassée associée à la matrice A/G est une sous-algèbre d'un certain quotient de l'algèbre amassée associée à A. Nous interprétons ce résultat en termes d'objets invariants dans la catégorie amassée associée lorsque cela est possible.