Les pavages en géométrie projective de dimension 2 et 3
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
In my PhD dissertation, I was interested in the study of discrets subgroups $$\G$$ of $$\SL_3(\R)$$ (resp. De $$\SL"{\pm} _ (4 } (\R)$$) which preserve a properly convex open set $$\0$$ of the real projective plane $$\P"2(\R)$$ (resp. $$\P"3(\R)$$). In dimension 2, I've caracterise the fact for the quotient surface $$\O_/\G$$ of finite volume in many ways, in particular with the holonomy of the cusp of the surface $$S$$, or the limit set of the group $$\G$$. This study enable me to show that the quotient $$\O_/\G$$ is of finite volume, then the properly open convex set $$\0$$ is strictly convex and the boundary $$\partial \0$$ is $$C" 1$$. Finally, I have show that the moduli space of properly convex projective structure of finite volume, on the surface (of negative Euler caracteristic) of genus $$g$$ and with $$p$$ cusps is homeomorphic to the bail of dimension $$16g-16+6p$$. In dimension 3, I was interested to the moduli space of properly convex projective structure on Coxeter compact 3-orbifolds. I made an hypothesis on the shape of the orbifold to show that the moduli space of properly convex projective structure is a union of $$n$$ bail of dimension $$d$$, where the integer $$n$$ and $$d$$ can be compute with the combinatoric of the orbifold.
Abstract FR:
Dans ma thèse, je me suis intéressé à l'étude des sous-groupes discrets $$\G$$ de $$\SL_3(\R)$$ (resp. De $$\SL'\{\pmL (4 } (\R)$$) qui préservent un ouvert proprement convexe $$\0$$ de l'espace projectif réel $$\P"2(\R)$$ (resp. $$\P"3(\R)$$). En dimension 2, j'ai caractérisé le fait que la surface quotient $$\O_/\G$$ est de volume fini de différentes façons, notamment à l'aide l'holonomie des pointes de la surface $$S$$, ou de l'ensemble limite du groupe $$\G$$. Cette étude m'a permis de montrer que lorsque le quotient $$\O_/\G$$ est de volume fini, alors l'ouvert proprement convexe $$\0$$ est strictement convexe et son bord $$\partial \0$$ est $$C" 1$$. Enfin, j'ai montré que l'espace des modules des structures projectives proprement convexes de volume fini, sur une surface (de caractéristique d'Euler strictement négative) de genre $$g$$ et à $$p$$ pointes est homéomorphe à une boule de dimension $$16g-16+6p$$. En dimension 3, je me suis intéressé à l'espace des modules des structures projectives proprement convexes sur les 3-orbifolds de Coxeter compact. J'ai dû faire une hypothèse sur la forme de l'orbifold pour montrer que l'espace des modules est une réunion de $$n$$ boules de dimension $$d$$, où les entiers $$n$$ et $$d$$ se calculent à l'aide de la combinatoire de l'orbifold.