Classification des noeuds et des entrelacs
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
The purpose of this thesis is to attack problems related to the construction, verification, and utilisation of tabulations of knots and links. One is to give tools and algorithms to analyse the possible transformations of the projections of a given type for a knot or link, and relate these to general questions such as classification and symmetry for broad infinite classes of knots and links. The difficulties encountered ever since the earliest tabulations a century ago (Tait, Little, 1885) appear to arise from the lack of powerful notations and algorithms. Admittedly, we jave Reidemeister's three moves (1925) on knot and link projections that in principle (only) give the topological classification. Conway's approach (1970) is similar in philosophy but very different in detail, using pieces of knots or links called tangles. It strongly suggests the feasibility of a computerised generation of knots and links involving notions of alphabet, syntax and dictionary. First, a combinatoric analysis of Conway's phenomena was necessary in order to translate it in a more general content: the author achieved this translation in the first part of his work using the “plumbing" construction. Then, he applied the recent works of R. Kirby and D. Rolfsen (about the classification of 3-dimensional manifolds using Dehn-surgeries) to the 2- fold branched covering of knots and links and he found some rules and operations on knots and links which allow to divide knots and links into families: each family is characterized by the shape of their surgery instructions leading to the rational stellar, arborescent and polyhedric structures. In this way, the author was able to complete the classical tabulations (Tait-Little-Conway) in finding 7 omissions and 1 duplication. The tabulation, presented in this thesis, is the first complete one; this as been confirmed by Perko (1981) using algebraic invariants, and by Thistlethwaite (1981) using informatic. He also gave tools to use the tabulations and to understand the equivalence between projections (for example the duplications found by Perko). These tools are also useful to detect some symmetry properties of knots and links like amphicheirality and inversibility.
Abstract FR:
L'objet de cette thèse est d'attaquer les problèmes liés à la construction, la vérification et l'utilisation des tables de nœuds et d'entrelacs. Dans un contexte plus général, on veut donner des outils et des algorithmes permettant de comprendre certaines transformations des projections des nœuds et entrelacs, et les propriétés générales qui lui sont liées. On vise aussi l'étude de cette tabulation pour l'étude et la compréhension d'autres problèmes (par exemple, l'étude des symétries des nœuds et enlacements). Les difficultés éprouvées depuis un siècle (Tait, Little, 1685) proviennent de l'absence d'une notation idéale permettant de dégager un algorithme de construction. Pourtant, dès 1925, K. Reidemeister avait établi la classification des nœuds et des entrelacs à partir d'un nombre restreint d'isotopies fondamentales. Cette philosophie a été reprise par Conway (1970) sous la forme d'une construction combinatoire des nœuds et entrelacs, basée sur la projection de morceaux de nœuds et entrelacs appelés "tangles". Cette tentative de Conway préfigure déjà une auto génération de type informatique avec la mise en place d'un alphabet, d'un vocabulaire et d'un dictionnaire. Dans un premier temps, une analyse combinatoire du phénomène Comway s'imposait afin de pouvoir le traduire dans un contexte plus général : ceci a été fait au début des travaux en termes de "plombage". Inspiré par les travaux récents de R. Kirby et D. Rolfsen (sur la classification des variétés de dimension 3 par la chirurgie de Dehn) appliqués au revêtement double ramifié du nœud, l'auteur a établi un certain nombre de règles et d'opérations sur les nœuds: elles permettent de regrouper les entrelacs et les nœuds dans des familles caractérisées par la forme de leurs instructions de chirurgie : structures rationnelles, stellaires, arborescentes et polyédriques. Ainsi, il a pu compléter les tables classiques en trouvant 7 omissions et une duplication. La tabulation présentée dans cette thèse a été la première exacte: son exactitude a d'ailleurs été confirmée par Perko (1981) à partir d'invariants algébriques, et par Thistlethwaite (1981) par voie informatique. L'auteur a également établi des outils pour utiliser les tabulations et comprendre les équivalences de projection (par exemple les duplications découvertes par Perko). Ces outils permettent aussi de déceler pratiquement certaines propriétés des nœuds et entrelacs jusqu'alors peu accessibles comme l'amphichéiralité et l'inversibilité.