Equations quasilinéaires paraboliques dégénérées et équations de Hamilton-Jacobi : équations géométriques et mouvements de fronts
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Abstract EN:
In the first part, we study quasilinear degenerate parabolic equations set in [RNx(0, T)] like the mean curvature eqution for graphs. We use the level-set approach to interpret the time-evolution of the unbounded solutions as a propagating front in [RN+1]. We prove that uniqueness is equivalent to the non-fattening of the front. Existence of discontinuous viscosity solutions is obtained from a L∞ local bound given by the level-set approach. A spectacular application is the existence of a unique continuous viscosity solution for any convex initial data. Working directly on the equation, we get existence and uniqueness results in the one-dimensional case. By imposing some polynomial-type growth restriction on the initial data in [RN], we prove the well-posedness of a large class of equations among functions with the same growth. The second part concerns time-dependent Hamilton-Jacobi equations. First, for equations set in the whole space [RN], we establish lower gradient bounds for the solutions. We exploit them to obtain regularity properties of the propagating fronts associated by the level-set approach. These bounds ensure the non-fattening but we show they are not sufficient to imply sharper regularity even for semiconcave functions. Secondly, we consider these equations in a smooth bounded set with Neumann boundary conditions. Using the corresponding control problem with reflection, we show that the discontinuous uniqueness result which holds for such equations set in [RN] is not true in this case.
Abstract FR:
La première partie est consacrée à des équations quesilinéaires dégénérées, posées dans [RNx(0, T)], du type de l'équation du mouvement par courbure moyenne des graphes. Nous utilisons l'approche par lignes de niveau pour interpréter l'évolution au cours du temps des solutions non bornées comme un mouvement d'hypersurfaces dans [RN+1]. Nous obtenons une condition d'unicité liée au non-épaississement du front associé par cette approche géométrique et des bornes L∞locales qui entraînent l'existence de solutions de viscosité discontinues. Une application spectaculaire est l'existence et l'unicité d'une solution de viscosité continue pour toute donnée initiale convexe. En travaillant directement sur les équations, nous montrons des résultats d'existence et d'unicité en dimension 1. En imposant des restrictions de type polynomial sur la croissance de la donnée initiale dans [RN], nous prouvons qu'une grande classe d'équations est bien posée dans l'ensemble des fonctions à même croissance. La seconde partie concerne les équations d'Hamilton-Jacobi paraboliques. En premier lieu, pour des équations posées dans tout l'espace, nous établissons des bornes inférieures de gradient pour les solutions que nous exploitons dans le cadre de l'approche par lignes de niveau. Ces bornes empêchent l'épaississement du front mais nous montrons par des contre-exemples qu'elles n'impliquent pas les propriétés plus fines espérées même pour des solutions semiconcaves. En second lieu, nous considérons ces équations posées dans un ouvert borné régulier avec une condition de Neumann au bord. En utilisant le problème de contrôle avec réflexion au bord associé, nous prouvons que le résultat d'unicité discontinu pour l'équation posée dans [RN] ne s'applique pas.