T-variétés affines : actions du groupe additif et singularités
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GrenobleDisciplines:
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Abstract EN:
AT -variety is an algebraic variety endowed with an effective action of an algebraic toms T. This thesis is devoted to the study of two aspects of normal affine T-varieties: the additive group actions and the characterization of singularities. Let X=spec A be a normal affine T-variety and let D be a homogeneous locally nilpotent derivation on the normal affine Z"n-graded domain A, so that D generates an action of the additive group on X. We provide a complete classification of pairs (X,D) in three cases: for toric varieties, in the case where the complexity is one, and in the case where D is of fiber type. As an application, we compute the homogeneous Makar-Limanov (ML) invariant of such varieties. We deduce that any variety with trivial ML-invariant is birationally decomposable as Y\times P"2, for sorne variety Y. Conversely, given a variety Y, there exists an affine T-variety X with trivial ML invariant birational to Y\times P"2. Ln the second part concerning singularities of a T-variety X we compute the higher direct images of the structure sheaf of a desingularization of X. As a consequence, we give a criterion as to when a T-variety has rational singularities. We also provide a condition for a T-variety to be Cohen¬Macaulay. As an application, we characterize quasihomogeneous elliptic singularities of surfaces.
Abstract FR:
Une T-variété est une variété algébrique munie d'une action effective d'un tore algébrique T. Cette thèse est consacrée à l'étude de deux aspects des T -variétés normales affines: les actions du groupe additif et la caractérisation des singularités. Soit X=spec A une T-variété affine normale et soit D une dérivation homogène localement nilpotente de l'algèbre affine intègre Z"n-gradué A, alors D engendre une action du groupe additif dans X. On donne une classification complète des couples (X,D) dans trois cas: pour les variétés toriques, dans le cas de complexité un, et dans le cas où D est de type fibre. Comme application, on calcule l'invariant de Makar-Limanov (ML) homogène de ces variétés. On en déduit que toute variété d'invariant de ML trivial est birationnelle à Y\times P"2, pour une certaine variété Y. Inversement, pour toute variété Y, il existe une T-variété affine X d'invariant de ML trivial birationnelle à Y\times P"2. Dans la seconde partie concernant les singularités d'une T-variété X, on calcule les images directes supérieures du faisceau structural d'une désingularisation de X. Comme conséquence, on donne un critère pour qu'une T -variété ait des singularités rationnelles. On présente aussi une condition pour qu'une T-variété soit de Cohen-Macaulay. Comme application, on caractérise les singularités elliptiques des surfaces quasi¬homogènes.