Abstract FR:

On s'interesse a des equations du type courbure scalaire donc avec exposant critique pour les injections de sobolev. Dans un premier temps, on se place sur la sphere unite standard et on recherche des solutions invariantes par rapport a une involution. On obtient des resultats d'existence avec prescription des zeros des solutions qui dans certains cas permettent d'aboutir a des resultats de multiplicite. On utilise une methode variationnelle par minimisation de fonctionnelle. Dans une deuxieme partie, on se place sur des varietes riemaniennes avec ou sans bord et on introduit une perturbation dans l'equation precedente. On obtient le meme type de resultats en utilisant cette fois des techniques de lemme du col. Enfin, on considere une variete riemanienne compacte de dimension 3, non conformement diffeomorphe a la sphere standard ; on s'interesse a des equations de courbure scalaire qui sont invariantes par rapport a un groupe d'isometres. Si l'invariant de yamabe est negatif, on obtient un theoreme d'existence et d'unicite. S'il est positif ou nul, on trouve une condition necessaire et suffisante d'existence et sous des hypotheses faisant intervenir la seconde meilleure constante dans l'injection h 2, (m) dans l 6 (m), on montre des resultats de multiplicite.