Abstract FR:

Etant donnees deux mesures de probabilites absolument continues sur r#n, il existe toujours une application monotone (i. E. Derivant d'un potentiel convexe) qui transporte l'une sur l'autre. En utilisant ce resultat de y. Brenier, nous donnons une nouvelle preuve des inegalites de brascamp-lieb et nous obtenons une nouvelle famille d'inegalites inverses. Toujours par le transport monotone, nous donnons une nouvelle preuve, elementaire et unifiee des inegalites de convolution de young et de leur forme inverse, avec constante optimale, ainsi qu'une inegalite de prekopa-leindler restreinte. La seconde partie du memoire traite de geometrie des corps convexes. En utilisant la forme inverse des inegalites de brascamp-lieb ainsi que des methodes d'unimodalite, nous donnons des estimations optimales du quotient volumique exterieur des corps convexes, de certaines sections ou projections des boules unites de l#p et une propriete extremale de l'epaisseur moyenne du simplexe regulier.