Abstract FR:

Dans une première partie, on étudie l'ensemble des solutions quasi-périodiques d'équations d'évolution de la forme : du/dt + a(t)u(t) <contains> 0 ; (1. 5) dans un espace euclidien h de dimension n, sur lequel l'opérateur a(t) est maximal monotone -périodique. A. Haraux et M. Otani ont établi que toutes les solutions de (1. 1) bornées sur r étaient quasi-périodiques avec au plus n + 1/2 fréquences de base. Motivés par le cas linéaire, il est naturel de se demander s'il est possible de trouver un ensemble fini de fréquences de base qui soit indépendant de la solution. On démontre ici, grâce au théorème de Baire, l'existence d'un ensemble fini universel de fréquences de base dont le cardinal reste inférieur ou égal à n + 1/2 ; cet ensemble fini est uniquement déterminé par t a(t). On s'intéresse à la presque-périodicité des solutions du problème : f 1(d(u(t))/dt) + t(u(t)) + g(u(t)) <contains> f(t), dans h (1. 6) ou h est un espace de Hilbert. Sous l'hypothèse t + g fortement monotone, on a existence et unicité d'une solution u , c b(r ; *) de (i. V ; t, g, f), de plus, si f est s 1 presque-périodique et t est indépendante de t, u est presque-périodique au sens de Bohr. Lorsque t dépend du temps, la précompacité de u(t), t , t 0, ) est essentielle pour établir l'existence d'une solution presque-périodique u * de (i. V ; t, g, f), résultat d'ailleurs que l'on retrouve si t + g est monotone. Par ailleurs, si g bornée sur r, toute solution du problème (i. V ; t, g, f) est bornée sur r +, ce qui implique l'existence d'une solution presque-périodique généralisée.