Contribution à l'étude de la contrôlabilité et de la stabilisation de l'équation de Schrödinger
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
We consider a quantum particle in a moving infinite square potential well. It is represented by a wave function solution of a Schrödinger equation. This is a control system in which the state is the wave function of the particle and the control is the acceleration of the potential well. In the first part, we study the controllability of this bilinear control system. In 1D, we prove the local controllability of the wave function around eigen states, and the steady-state controllability of the wave function, the speed and the position of the potential well. The proof uses J. -M. Coron's return method, moment method, a Nash-Moser implicit function theorem, quasi-static transformations and expansions to the second order. In 3D, we study the linearized system around an eigen state. We prove the non controllability of the wave function, the speed and the position of the potential well, for this linearized system. We also prove the non controllability of the wave function, when the potential well moves along a line. Finally, we discuss the non steady-state controllability of this linearized system, which is a stronger property than its non controllability. We conjecture it happen generically with respect to the domain, but the proof is not finished yet. In this section, we use holomorphic functions and differentiation with respect to the domain. In the second part, we study the stabilization of this quantum system with feedback laws. Measurements lead to difficulties in quantum mechanics, thus, the aim of this part is to propose control laws that can be computed numerically in order to apply them to the physical system as open loop controls. The goal is to bring the particle to the ground state asymptotically. We give a feedback law which is successful in a critical case of a previous work by M. Mirrahimi and P. Rouchon for a finite dimensional quantum system. Then, we study the generalization of these approaches to PDEs. They rely on Lyapounov theory and LaSalle invariance principle.
Abstract FR:
On considère une particule quantique dans un puits de potentiel carré infini en mouvement. Elle est modélisée par une fonction d'onde solution d'une équation de Schrödinger. Il s'agit d'un système commandé dans lequel la variable d'état est la fonction d'onde de la particule quantique et le contrôle est l'accélération du puits de potentiel. Dans une première partie, on étudie la contrôlabilité de ce système commandé bilinéaire. En dimension 1 d'espace, on démontre la contrôlabilité locale de la fonction d'onde au voisinage des états propres, et sa contrôlabilité entre états propres. On contrôle également la position et la vitesse du puits de potentiel. La preuve utilise la méthode du retour de J. -M. Coron, la méthode des moments, un théorème d'inversion locale de type Nash-Moser, des déformations quasi-statiques et des développements à l'ordre deux. En dimension 3 d'espace, on étudie le système linéarisé autour d'un état propre. On démontre la non contrôlabilité de la fonction d'onde, la vitesse et la position du puits de potentiel, pour ce système linéarisé. On prouve également la non contrôlabilité de la fonction d'onde, lorsque le puits est astreint à se déplacer sur une droite. Enfin, on aborde la non contrôlabilité entre états propres de ce système linéarisé, qui est une propriété plus forte que sa non contrôlabilité. On conjecture qu'elle a lieu génériquement par rapport au domaine, mais la preuve de cette conjecture est inachevée. Dans cette section, on utilise des fonctions holomorphes et des dérivations par rapport au domaine. Dans une deuxième partie, on s'intéresse à la stabilisation en boucle fermée de ce système quantique. La mesure posant des problèmes en mécanique quantique, l'objectif est de fournir des contrôles calculables numériquement, qu'on appliquerait ensuite en boucle ouverte au système physique, dans le but de l'amener asymptotiquement à l'état fondamental. On propose une loi feedback qui traite un cas critique d'un travail antérieur de M. Mirrahimi et P. Rouchon sur un système quantique de dimension finie, puis on étudie la généralisation de ces méthodes au cas d'une EDP. Elles reposent sur la théorie de Lyapounov et le principe de LaSalle.