Abstract FR:

Cette these est consacree a l'etude d'une certaine famille de metriques definies sur l'espace total du fibre tangent d'une variete riemannienne (m, g). Notre approche repose essentiellement sur la geometrie du fibre tangent qui est caracterise par l'existence de la distribution horizontale associee a la connexion de levi-civita de la metrique riemannienne g. C'est en effet dans ce contexte que ces metriques, appelees adaptees bi-conformes, sont definies. La principale motivation de ce travail est la construction explicite de metriques ayant certaines proprietes remarquables comme par exemple d'etre de kahler-einstein, autoduales ou encore hyperkahleriennes. Lorsque m est une variete de kahler, qui est la situation principalement consideree, l'existence d'une metrique kahlerienne adaptee bi-conforme sur son fibre cotangent holomorphe est determine par certaines conditions ou il apparait, entre autres, que le seul cas non trivial est celui ou m est une surface de riemann. Si de plus, celle-ci est a courbure de gauss partout non nulle, on obtient une description totale de ces metriques parmis lesquelles on retrouve celle de eguchi-hanson. Dans le cas kahlerien non trivial ci-dessus, l'etude du tenseur de courbure riemannien et notamment sa decomposition, sous l'action du groupe special orthogonal, en ses differentes composantes irreductibles aboutit a des conditions explicites sur la metrique bi-conforme lorsque celle-ci est anti-autoduale, autoduale ou encore d'einstein. En particulier, si la surface de riemann est compacte a courbure de gauss partout non nulle, on donne explicitement des constructions de metriques ayant ces proprietes speciales dont la plupart sont definies dans un voisinage tubulaire de la section nulle. Dans la situation non kahlerienne, une etude complete est faite dans un cadre particulier qui aboutit, entre autres, a une construction explicite de metriques non kahleriennes a tenseur de ricci invariant pour la structure complexe naturelle.