Exposants de Lyapounov et densité d'états intégrée pour des opérateurs de schrödinger continus à valeurs matricielles
Institution:
Paris 7Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This Ph. D thesis deals with dynamical and spectral questions about matrix-valued continuous random Schrödinger operators. Two model: are studied, one is a point interaction model, and the second one is an Anderson-type model. From the dynamical point of view, we prove the separability of the Lyapounov exponents for both models. The methods used here are based upon Lie groups' theory results from Goldsheid and Margulis and from Breuillard and Gelander. This separability of thé Lyapounov exponents leads to the absence of absolutely continuous spectrum for both models. In a second part we study regularity properties of the Lyapounov exponents and of the Integrated Density of States whose existence is proved for matrix-valued continuous models. We prove that these two quantifies are Hölder-continuous, view as functions of the energy parameter. For the Lyapounov exponents, the proof relies on the existence of an invariant measure for the transfer matrices cocycle and on an integral representation of the exponents involving this invariant measure. The Hölder-continuity of the Integrated Density of States is then obtained from the Hölder-continuity of the Lyapounov exponents by using a Thouless formula adapted to matrix-valued continuous operators
Abstract FR:
La présente thèse traite de questions dynamiques et spectrales liées à des opérateurs de Schrôdinger aléatoires continus et à valeurs matricielles. Deux modèles sont étudiés, l'un est un modèle dit d'interactions ponctuelles, le second est un modèle de type Anderson. Du point de vu dynamique, il est prouvé la séparabilité des exposants de Lyapounov associés a ces deux modèles. Les méthodes employées se basent sur des résultats de théorie des groupes de Lie dus à Goldsheid et Margulis d'une part, Breuillard et Gelander d'autre part. Les résultats obtenus conduisant à l'absence de spectre absolument continu pour les deux modèles étudiés. Dans un second temps on étudie les propriétés de régularité des exposants de Lyapounov ainsi que celles de la Densité d'Etats Intégrée dont on prouve l'existence pour des modèles continus à valeurs matricielles. On y prouve que ces quantités sont Hôlder-continues en fonction du paramètre d'énergie. Pour les exposants de Lyapounov, les méthodes de preuve reposent sur l'existence de mesures invariantes pour le cocycle des matrices de transferts et sur une représentation intégrale de ces exposants contre cette mesure invariante. La continuité Hôldérienne de la Densité d'Etats Intégrée se déduit alors de celle des exposants de Lyapounov par l'intermédiaire d'une formule de Thouless adapté à notre cadre d'étude des opérateurs continus à valeurs matricielles