Abstract FR:

On etudie le volume des sections des corps convexes quelconques (non necessairement symetriques) d'un espace euclidien. D'apres le theoreme de brunn-minkowski, la fonction section d'un corps convexe k parallelement a un sous espace vectoriel e donne de dimension k est 1/k-concave. Dans la majeure partie de cette these, on utilise cette propriete pour ramener des inegalites geometriques verifiees par les convexes a l'etude des fonctions 1/k-concaves. La demonstration d'inegalites fonctionnelles nous permet ainsi de comparer le volume de la section de k parallelement a e passant par son centre de gravite a celui de celle de volume maximal ; de generaliser au convexes non-symetriques le fait que les sections hyperplanes d'un convexe en position isotrope passant par son centre de gravite ainsi que celles de volume maximal sont de volume presque constant ; et de determiner precisement la distance maximale de l'ellipsoide d'inertie d'un convexe quelconque a certains convexes symetriques naturellement associes. Dans une derniere partie, en analogie avec des travaux recents sur les corps flottants et la surface affine, on utilise des methodes differentes, liees aux proprietes locales de la surface des convexes et a la geometrie differentielle affine, pour etudier le comportement limite du volume des corps sectionnels associes a un convexe.