Abstract FR:

La partie principale de ce travail est consacree a l'etude de quelques connections entre la theorie descriptive des ensembles et la geometrie des espaces de banach : on etudie la complexite topologique de certaines familles naturelles de normes, de fonctions convexes et d'operateurs sur un espace de banach infini dimensionnel. Dans la partie 1, on montre que l'ensemble des fonctions convexes continues et frechet-differentiables sur un espace de banach separable x ainsi que l'ensemble de toutes les normes frechet-differentiables sur x, reduisent tout sous ensemble coanalytique. En particulier ils sont non boreliens. Dans la partie 2, on montre que si de plus x n'est pas reflexif et son dual x* est separable, alors l'ensemble z des normes frechet-differentiables dont la norme duale n'est pas strictement convexe, reduit toute difference de deux ensembles coanalytiques. Il s'ensuit que z est exactement une difference de deux coanalytiques pour la structure standard d'effros-borel. On donne un lemme important elucidant la structure topologique de l'ensemble des formes lineaires continues atteignant leur norme quand x est muni d'une norme uniformement convexe. La partie 3 est consacree a l'etude des proprietes des operateurs stables, superstables, ergodiques et superergodiques sur un espace de banach de dimension infinie. Le resultat principale est que le spectre unitaire de tout operateur superstable est denombrable. Dans la partie 4, on montre que si x est separable, l'ensemble des operateurs stables et celui des operateurs ergodiques sont boreliens, alors que l'ensemble des operateurs superstables (note s(x)) et celui des operateurs superergodiques sont des coanalytiques. De plus, si x est superreflexif et a un sous-espace complemente a base inconditionnelle, ou plus generalement si x admet un operateur polynomialement borne mais non-superstable, alors s(x) n'est pas borelien. A l'oppose, si x est un superreflexif hereditairement indecomposable alors l'ensemble s(x) est borelien.