Sub-Riemannian geometry and hypoelliptic heat equations on 3D Lie groups with applications to image reconstruction
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This thesis focuses on problems of sub-Riemannian geometry and on the corresponding subelliptic diffusion equation. These studies are motivated by a model of visual perception due to Petitot-Citti-Sarti. We study the invariant Carnot--Caratheodory metrics on SU(2)=S^3, SO(3), and SL(2). We compute the cut loci globally and the distance. This is the first explicit computation of the whole cut locus in sub-Riemannian geometry, except for the Heisenberg group. We present a definition of the hypoelliptic Laplacian that generalizes the Laplace-Beltrami operator. We present a method to compute explicitly the hypoelliptic heat kernels on Lie groups. The main tool is the noncommutative Fourier transform. We study some relevant cases: SU(2), SO(3), SL(2) and the group of rototranslations of the plane. We study the model of visual perception by PCS, for which the reconstruction of a corrupted curve \gamma is the minimization of a cost depending on length and curvature K. We fix starting and ending points as well as initial and final directions. We prove the non-existence of minimizers for \int \sqrt{1+K_\gamma^2} ds. We instead prove existence of minimizers for J=\int \| \dot\gamma(t) \|\sqrt{1+K_\gamma^2} dt if initial and final directions are considered regardless to orientation. We solve globally the problem of minimization of J on the sphere S^2. Some optimal geodesics present cusps. We present an algorithm of image reconstruction based on the model, where the minimization process is replaced by an hypoelliptic heat diffusion, that we solve explicitly. Examples of image reconstruction are provided.
Abstract FR:
Nous étudions des problèmes de géométrie sous-Riemannienne et la diffusion subelliptique correspondante. Ces études sont motivées par un modèle de perception visuelle dû à Petitot-Citti-Sarti. Nous étudions les métriques invariantes de Carnot-Caratheodory sur SU(2)= S^3, SO(3), et SL(2). Nous calculons les cut loci globalement et la distance. Ceci est le premier calcul explicite global en géométrie sous-Riemannienne, exception faite pour le groupe d'Heisenberg. Nous présentons une définition du Laplacien hypoelliptique généralisant l'opérateur de Laplace-Beltrami. On présent une méthode de calcul du noyau de la chaleur hypoelliptique sur les groupes de Lie utilisant la transformée de Fourier non-commutative. On étudie les cas de SU(2), SO(3), SL(2), et du groupe des déplacements dans le plan. Nous étudions le modèle de perception visuelle dû à PCS, selon lequel la reconstruction d'une courbe \gamma corrompue est la minimisation d'un coût qui dépend autant de la longueur que de la courbure K. On fixe les points initial et final, ainsi que les directions initiale et finale. On prouve la non-existence des minimisants pour \int \sqrt{1+K_\gamma^2} ds. On prouve l'existence des minimisants pour J=\int \|\dot\gamma(t) \|\sqrt{1+K_\gamma^2} dt si les directions sont considérées sans orientation. Nous résolvons globalement le problème de minimisation de J sur la sphère S^2. Des minimisants présentent des points de rebroussement. Nous présentons un algorithme de reconstruction d'images basé sur le modèle, où on substitue la minimisation de J par la diffusion hypoelliptique correspondante, que l'on ressoude explicitement. Des exemples de reconstruction sont présentés.