Abstract FR:

Cette these aborde le probleme des inegalites isoperimetriques sur les varietes riemanniennes. La premiere partie traite de la stabilite isoperimetrique: c'est-a-dire de l'amelioration d'une inegalite isoperimetrique classique (une minoration du volume du bord en fonction du volume interieur): un domaine presque optimal pour cette inegalite est-il proche d'un domaine minimisant ? la seconde partie s'interesse aux inegalites isoperimetriques sur les varietes riemanniennes non-compactes ; d'abord, on obtiendra des equivalences entre des inegalites de sobolev, estimees analytiques, et l'inegalite isoperimetrique de faber-krahn (une minoration de la premiere valeur propre du laplacien, pour le probleme de dirichlet, en fonction du volume) ; puis on montrera quelques proprietes impliquees par une telle inegalite de faber-krahn ; on verra notamment sous quelles conditions on peut obtenir une inegalite isoperimetrique classique a partir d'une telle inegalite, a priori plus faible