Abstract FR:

Pour une algebre de lie nilpotente reelle, on considere une orbite coadjointe dans le dual de cette algebre. C'est une feuille symplectique de la structure de poisson de ce dual. L'algebre des fonctions regulieres sur l'orbite est une algebre de poisson-weyl. On a ainsi l'existence de fonctions regulieres sur l'orbite verifiant les relations de darboux. Le premier probleme etudie est celui du prolongement de ces fonctions par des fonctions sur le dual, verifiant encore les relations de darboux. On montre l'existence de relevements (homomorphismes d'algebres de poisson) de l'algebre de poisson-weyl precitee dans le complete de l'algebre symetrique de l'algebre de lie (complete pour la topologie associee a la filtration par les puissances de l'ideal attache a l'orbite). Il est muni naturellement d'une structure d'algebre de poisson. On rapproche ces resultats de ceux obtenus par alan weinstein. Le second probleme est l'etude du commutant de l'image de l'algebre de poisson-weyl attachee a l'orbite par un relevement. C'est une algebre de series formelles dont la classe d'isomorphie ne depend pas du relevement choisi. On compare cette algebre a celle donnee par la structure de poisson transverse a l'orbite, calculee par le theoreme de decomposition de alan weinstein ou la formule de p. A. M. Dirac. La methode des orbites associe a l'orbite coadjointe un ideal primitif de l'algebre enveloppante. Cette these est inspiree de l'etude faite par fokko du cloux du voisinage d'un tel ideal primitif. Celui est decrit par une algebre. Notre philosophie est que cette algebre est une quantification de la structure de poisson transverse a l'orbite.