Abstract FR:

On etudie ici des produits gauches qui sont des extensions d'un systeme dynamique associees a un cocycle (celui-ci est donne par une fonction quand on n'a qu'une seule transformation). Ces systemes constituent une classe riche en exemples pour la theorie spectrale. On etablit au chapitre 2 une methode permettant de majorer la multiplicite spectrale d'operateurs lies a un produit gauche au dessus d'une transformation de rang un local. Cette propriete est donnee pour une rotation irrationnelle par les tours de rokhlin liees a la decomposition en fraction continue de l'irrationnel, et entraine la multiplicite finie lorsque le cocycle est a variation bornee. On donne ensuite des majorations explicites. On montre au chapitre 3 la singularite spectrale d'extensions a 2 points au dessus d'une rotation irrationnelle et associe a la fonction caracteristique d'un intervalle. On etudie ensuite des produits gauches au dessus d'une transformation de rang un, associes a des cocycles constants sur les etages d'une suite de tours, qu'on appelle m-extensions. Les methodes des transformations de rang un permettent de determiner le type spectral des m-extensions a l'aide de produits de riesz generalises. On donne au chapitre 4 plusieurs de leurs proprietes. On etablit au chapitre 5 des proprietes de singularite et de simplicite spectrale presque sures pour une construction aleatoire des m-extensions. Enfin, on considere au chapitre 6 les m-extensions a deux points a spectre simple qui correspondent aux suites de morse generalisees. On montre alors une equivalence entre l'existence d'une telle transformation admettant un spectre non singulier, et l'existence de polynomes plats a coefficients 1 ou -1. Ce lien avec un probleme d'analyse harmonique conduira a la construction d'une action d'un groupe abelien denombrable a spectre simple, et dont le type spectral est la somme d'une mesure discrete et de la mesure de haar du groupe dual.