Abstract FR:

Dans la première partie, nous démontrons une partie d'une conjecture de J. -L. Duret. Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique zéro et K et K' deux corps elliptiques sur k. Supposons que K est avec multiplication complexe et soit j son invariant modulaire. Soit L(j) le langage des corps enrichi d'un symbole de constante pour j. Soient E et E' des courbes ayant pour corps de fonctions respectivement K et K'. Nous démontrons que si les corps K et K' sont élémentairement équivalents dans le langage L(j), alors les courbes E et E' ont des anneaux d' endomorphismes isomorphes. La seconde partie est consacrée à l'étude d'un analogue du dixième problème de Hilbert (existence ou non d'un algorithme qui décide, pour une équation diophantienne quelconque, si l'équation a ou n'a pas de solutions dans les entiers). Y. Matiyasevich a répondu négativement au dixième problème de Hilbert en 1970. Soit L* le langage des anneaux enrichi par un symbole de constante pour la variable z et d'un symbole de relation unaire << ord0(x) > 0 >> (la fonction x s'annule en 0). Nous démontrons que les entiers naturels sont définissables dans le corps Mp des fonctions méromorphes p-adiques globales, dans le langage L*. Il s'ensuit que la théorie existentielle du corps Mp dans le langage L* est indécidable. Afin de démontrer ces théorèmes, nous obtenons : 1) une caractérisation des paramétrisations p-adiques méromorphes d'une courbe elliptique, définie sur le corps des constantes ; 2) une caractérisation complète des fonctions méromorphes p-adiques d'une courbe elliptique E moins un point vers E ( pour toute courbe elliptique définie sur le corps des constantes).