Grassmanniennes non-linéaires, groupes de difféomorphismes unimodulaires et quelques équations hamiltoniennes en dimension infinie
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Abstract EN:
In this thesis, we study the vortex filament equation, the Euler equation of an incompressible fluid which is G-invariant with respect to a Lie group action and we also study the non-linear grassmanniann. Our study is organized in three chapter and two appendices : in the first chapter, we study the local form of the vortex filament equation and we show that Hasimoto's trisk extends to the the case of a filament embedded in a general three-dimensional riemannian manifold. In the second chapter, we study the group of unimodular automorphisms of the total space of a principal bundle. We compute the Euler equations associated to this group and derive some short exact sequences. In the third chapter, we study the non-linear grassmannian, some geometrical structures on it and we consider also some hamiltonian equations associated. The first appendix treats the notion of differentiable calculus on a frechet space and the second is devoted to the group of unimodular diffeomorphisms of a compact manifold
Abstract FR:
L'objet de cette thèse est l'étude de l'équation d'un filament de vorticité dans ses diverses formes, l'équation d'Euler d'un fluide parfait incompressible G-invariant pour l'action d'un groupe de Lie ainsi que l'étude de la grassmannienne non-linéaire. Le corps de la thèse se découpe en trois chapitres : dans le premier chapitre, nous donnons la forme locale de l'équation d'un filament de vorticité et montrons que l'astuce d'Hasimoto s'étend aux cas des filaments plongés dans une variété riemannienne tridimensionnelle quelconque. Dans le deuxièeme chapitre, nous étudions le groupe des automorphismes unimodulaires de l'espace total d'un fibré principal. Nous déterminons les équations d'Euler associées et exhibons certaines suites exactes de groupes de Lie fréchétiques. Le troisièeme chapitre étudie en détail la grassmannienne non-linéaire, les diverses structures que l'on peut lui adjoindre et quelques équations hamiltoniennes associées. Un premier appendice traite de la notion de calcul différentiel sur un espace fréchétique et un deuxième appendice montre qu'il existe une structure de groupe de Lie sur le groupe des difféomorphismes unimodulaires d'une variété compacte