Dynamique des fluides de grade deux
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
This thesis is devoted to the study of the second grade fluid system. When the material coefficient dollar\alpha dollar is small, these equations can be considered as a singular perturbation of the Navier-Stokes equations since they involve a third order derivative term. Ln the first part, we consider the equations of a rotating incompressible non-Newtonian fluid flow of grade two in a three dimensional torus. We obtain two different results of global existence of strong solutions. Ln the first case, we consider an arbitrary coefficient dollar\alpha dollar and we suppose that the third components of the vertical average of the initial data and of the forcing term are small compared to the horizontal components. Ln the second case, we consider a forcing term of arbitrary size and large initial data but we need to restrict the size of dollar\alpha dollar. Ln both cases, we show that the system of a rotating second grade fluid converges to a limit system composed of a linear system and a second grade fluid system with two variables and three components. The global existence of solutions of this limit system with three components plays a big role in the proof. Ln the second part, we study the large time behavior of solutions of the second grade fluid system in the space dollar\mathbb{R}Λ2dollar. Using scaling variables and performing energy estimates in weighted Sobolev spaces, we prove that the solutions of the second grade fluid equations converge to the Oseen vortex, if the initial data are small enough. We also give an estimate of the rate of convergence. The last part of this thesis concerns the study of the comparaison of the dynamics of the second grade fluid system with the ones of the Navier-Stokes equations, in the two-dimensional case. We show that, if dollar z_0 dollar is an hyperbolic equilibrium point of the Navier-Stokes equations, the second grade fluid system has a unique equilibrium point dollar z_ {\alpha}dollar in a neighborhood of dollar z_0 dollar , if dollar\alpha dollar is small enough. Next, we construct the local unstable manifold of dollar z_ {\alpha}dollar and we compare it to the local unstable manifold of dollar z_0 dollar.
Abstract FR:
Cette thèse est consacrée à l'étude des équations des fluides de grade deux. Lorsque le coefficient matériel dollar\alpha dollar est petit, ces équations peuvent être considérées comme une perturbation singulière des équations de Navier-Stokes puisqu'elles font intervenir un terme de dérivée d'ordre trois. Dans une première partie, on considère les équations des fluides de grade deux en rotation rapide dans un tore tridimensionnel. On démontre deux résultats d'existence globale de solutions fortes. Dans le premier, on suppose que le coefficient matériel dollar\alpha dollar est arbitraire et que les troisièmes composantes des moyennes verticales de la donnée initiale et du terme de force sont petites par rapport aux composantes horizontales. Dans le deuxième cas, on ne restreint pas la taille de la donnée initiale et du terme de force, mais on suppose que dollar\alpha dollar est assez petit. Dans ces deux cas, on montre que le système des fluides de grade deux en rotation rapide converge vers un système limite couplé, composé d'un système linéaire et d'un système de fluides de grade deux à deux variables, mais à trois composantes. Une partie essentielle du travail consiste à démontrer l'existence globale des solutions de ce système limite à trois composantes. Dans la deuxième partie, on étudie le comportement asymptotique en temps grand du système des fluides de grade deux dans l'espace dollar\mathbb{R}Λ2dollar. En introduisant des changements de variables d'échelle et en écrivant des estimations d'énergie dans des espaces de Sobolev à poids polynomiaux, on démontre que, sous une condition de petitesse sur la donnée initiale, les solutions des fluides de grade deux convergent vers le tourbillon d'Oseen. On donne aussi une estimation du taux de convergence. La dernière partie de cette thèse porte sur la comparaison de la dynamique des équations des fluides de grade deux avec celle des équations de Navier-Stokes en dimension deux d'espace. On montre que, si dollar z_0 dollar est un point d'équilibre hyperbolique des équations de Navier-Stokes, le système des fluides de grade deux admet un unique point d'équilibre dollar z_ {\alpha}dollar dans un certain voisinage de dollar z_0dollar, si dollar\alpha dollar est assez petit. Ensuite, on construit la variété locale instable de dollarz {\alpha}dollar et on la compare à celle de dollar z_0 dollar.