Application de l'homologie généralisée
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
In this thesis we deal with graded algebras, finitely generated in degree one with relations concentrated in degree N which are reffered to as homogeneous algebras of degree N or N-homogeneous algebras. A quadratic algebra is special case of homogeneous algebra (of degree N = 2). The homological properties of the N-homogeneous algebras are encoded in the (generalization of) chain and cochain Koszul complexes. After a general presentation of the main homological notions for a N-homogeneous algebras we concentrate on the applications of the homogeneous algebras in parastatictics and combinatorics. We study two particular examples of 3-homogeneous algebras: 1. The algebra generated by the creation operators of a parastatistics system with finite number degrees of freedom, 2. The algebra of the plactic monoid which is an algebra of Young tableaux. Using q-deformed Young projectors we construct a q-deformation of the algebra of parafermionic (parabosonic) creation operators B+(q)(B(̄q)). It turns out that the q-deformed algebra B+(q) in the "absolute zero" limit q = 0 coincides with the algebra of the plactic monoid. The limit q = 0 of B(̄q) gives rise to a "super"-plactic algebra. Thus by means of quantum group technics we reveal a surprising connection between parastatistics and combinatorics: the algebraic structure with combinatorial nature, namely the algebra of Young tableaux lies behind the parastatistics Fock spaces.
Abstract FR:
"Dans cette thèse on étudie des algèbres graduées engendrées de manière finie en degré un avec un nombre fini de relations homogènes de degrés N. Ces algèbres sont dites homogènes de degré N ou N-homogènes. Les algèbres quadratiques correspondent à N=2. Les propriétés homologiques de telles algèbres sont extraites de la généralisation des complexes de Koszul. Après une présentation générale des principales notions homologiques pour les algèbres N- homogènes on s'intéresse aux applications de la théorie à la parastatistique et à la combinatoire. On étudie deux cas particuliers d'algèbres cubiques (N=3): 1. L'algèbre engendrée par les opérateurs de création d'un système de parastatistique à nombre de degrés de liberté fini D, 2. L'algèbre du monoi͏̈de plaxique des tableaux de Young avec entrées dans les D premiers entiers. En utilisant les projecteurs de Young q-déformés, on construit une déformation B+ (q) (B(̄q)) de l'algèbre des opérateurs de création parafermioniques (parabosoniques). On montre que la limite du "zéro absolu" q=0 de B+(q) coi͏̈ncide avec l'algèbre plaxique. La limite q=0 de B(̄q) donne une version "super" de l'algèbre plaxique. Ainsi l'utilisation de techniques des groupes quantiques révèle une connexion remarquable entre parastatistique et combinatoire. "