Abstract FR:

Soient f et g deux polynômes quadratiques complexes moniques. On prend deux exemplaires du plan complexe, on les compactifie en ajoutant un cercle à l'infini, on recolle ces deux cercles et on obtient une sphère topologique S. En faisant opérer f et g sur chacun des hémisphères, on peut obtenir une application f de s dans elle-même. C'est un revêtement ramifié qu'on appelle l'accouplement topologique de f et g. La réunion des orbites directes par f des points critiques est l'ensemble postcritique de F. Thurston a défini une équivalence entre revêtements ramifiés à ensemble postcritique fini. On dit que f et g sont accouplables si f (modifié dans certains cas) est équivalent au sens de Thurston a une fraction rationnelle. Si f et g sont accouplables, on peut obtenir la sphère en collant les ensembles de Julia remplis de f et g. Les polynômes quadratiques à ensemble postcritique borné sont paramétrés par l'ensemble de Mandelbrot M. Soit W l'adhérence de la composante principale de l'intérieur de M. Si les paramètres de f et g sont dans des composantes conjuguées de M-W, alors f et g ne sont pas accouplables. Douady et Hubbard ont conjecturé qu'ils sont accouplables dans tous les autres cas. Nous démontrons ici cette conjecture, en utilisant le critère de Thurston, et en nous appuyant sur les travaux de Silvio Levy et de Mary Rees. Ce résultat s'étend aux polynômes de degré quelconque ayant un seul point critique.