Abstract FR:

Dans ce travail nous etudions le probleme ponctuel de fatou pour les quotients d'integrales de poisson sur le demi-espace euclidien. Ce probleme consiste a relier deux notions concernants le comportement d'une mesure de radon signee par rapport a une mesure positive en un point de l'espace, il a ete considere par plusieurs auteurs (dont p. Fatou) dans le cas ou la mesure positive de base est la mesure de lebesgue. La premiere notion est celle de derivabilite relative introduite dans les travaux de besicovitch et de saks, la seconde est le comportement limite du quotient d'integrales de poisson. Ces deux notions ont des variantes radiales, variationnelles et non-tangentielles ou on fait la distinction entre les differentes approches dans la definition de la limite. Nous demontrons plusieurs resultats abeliens deduisant l'existence de la limite du quotient d'integrales de poisson de la derivabilite relative. Ces resultats etendent un resultat classique de j. Doob. Dans l'autre direction nous demontrons un theoreme tauberien qui donne la derivabilite relative a partir de la connaissance de la limite du quotient d'integrales de poisson. Mais notre demonstration n'est pas valable que quand la mesure positive de base est homogene. Les cas particuliers des mesures positives et des mesures ayant une densite bmo par rapport a la mesure de lebesgue sont etudies en plus de details. Les resultats pour les integrales de poisson sont etendues a une classe plus generale de convolutions qui contient, outre les integrales de poisson, les integrales de gauss-weierstrass et les transformee de laplace. Ce travail est une extension naturelle des investigations menees par j. Brossard et l. Chevalier et par w. Ramey et d. Ullrich