Abstract FR:

On étudie dans cette thèse la complexité descriptive de certaines familles rencontrées en géométrie des espaces de Banach. Dans la première partie, on code les classes d'isomorphisme d'espaces de Banach séparables à l'aide de la structure borélienne d'effros sur les termes d'un espace universel, et on montre que des codages naturels sont essentiellement équivalents à ce codage initial. Les relations d'isomorphisme, de sous-espace, de somme directe et de quotient sont analytiques non boréliennes, et la relation d'isomorphisme n'a pas de section analytique. Certaines familles d'espaces de Banach séparables stables par isomorphisme (espaces réflexifs, à dual séparable, ne contenant pas un espace donné, ayant la propriété de Radon Nikodym) sont coanalytiques non boréliennes. On leur associe des rangs coanalytiques (hauteurs d'arbres, indices d'épluchage). Puis, on étudie un codage des suites basiques à équivalence près. Dans la deuxième partie, on étudie la complexité descriptive de familles de normes sur un espace de Banach séparable de dimension infinie, après avoir défini une structure borélienne standard sur l'ensemble des normes équivalentes de cet espace. Si l'espace est à base Shrinking, l'ensemble des normes à la fois uniformément convexes dans toutes les directions et faiblement localement uniformément convexes est coanalytique non borélien. Ce résultat est étendu pour les normes strictement convexes à tout espace de Banach séparable de dimension infinie.