Abstract FR:

Nous nous intéressons à l'équivalence topologique de champs de vecteurs au voisinage d'une connexion. La configuration que nous étudions est la suivante : en dimension trois, nous considérons deux selles hyperboliques d'indices différents et nous supposons que les variétés invariantes de dimension un de ces selles se rencontrent le long d'une orbite, la connexion. Nous donnons une classification complète d'un ensemble générique de telles connexions. La classe d'équivalence topologique d'un champ de vecteurs au voisinage d'une de ces connexions est déterminé par la partie linéaire du champ de vecteurs au voisinage des singularités et par un difféomorphisme, la transition, donné par l'application de Poincaré entre deux disques transverses à la connexion. Nous montrons que si l'une des deux selles admet des valeurs propres complexes (non réelles), la partie linéaire de la transition et les parties linéaires du champ aux singularités suffisent à déterminer la classe d'équivalence topologique du champ de vecteurs au voisinage de la connexion. Afin de connaître explicitement la classe d'équivalence d'un champ de vecteurs, nous calculons d'une part le module de conformité de la partie linéaire de la transition, d'autre part une quantité fonction des valeurs propres du champ aux singularités. La comparaison de ces deux nombres définit deux classes. Dans l'une de ces deux classes, tous les champs de vecteurs sont topologiquement équivalents. Dans l'autre classe, on voit apparaître des invariants numériques, fonctions des valeurs propres et de la transition.