Formulations mixtes et hybrides pour les équations de la magnétostatique 3D dans un domaine non borné : mise en oeuvre numérique de diverses techniques de résolution
Institution:
Paris 11Disciplines:
Directors:
Abstract EN:
We present a mathematical and a numerical study of mixed and hybrid formulations for magnetostatics 3D in an unbounded domain, discretised with well-chosen finite elements. This study deals with isotrope materials without any condition on the boundary of the magnetic domain, the external problem is solved by an integral method. The first chapter is devoted to the theoritical sights of a first mixed formulation where the magnetic field and the vector potentiel are the unknowns. The existence and the unicity of the solution are established. After the discretization, the matrix system is solved by Uzawa's method. The second chapter presents a perturbation method of the linear system. Good results are obtained for the Problem 13 of the Team Work Shop. We also compared these results with those obtained when the continued problem is perturbed. We, then, deduce that our method is more advantageous than the latter. The third chapter sets out the tree-cotree technic in order to impose the unicity of the vector potential. The fourth chapter introduces the lagrange multipliers used to relax continuity constraints: the continuity of the tangential component of magnetic field and the continuity of the normal component of the induction. Linear systems obtained have block diagonal matrix. Uzawa's method and static condensation method are used to solve these systems. Good results with good accuracy are obtained. Finally, an appendix relates the purpose of a polynomial preconditioning and a code is implemented for a domain having a constant permeability.
Abstract FR:
Le travail que nous présentons dans cette thèse repose sur l'étude mathématique et numérique de formulations mixtes et hybrides en magnétostatique tridimensionnelle, discrétisées par des éléments finis appropriés. Ce travail est fait dans le cadre de matériaux isotropes où l'on n'a besoin d'aucune condition au bord de la région magnétique, le problème extérieur étant résolu par une méthode intégrale. Le premier chapitre est consacré aux aspects théoriques d'une première formulation variationnelle mixte en champ magnétique et potentiel vecteur. L'existence et l'unicité de la solution de cette formulation y sont montrées. Après discrétisation, le système matriciel obtenu est alors résolu par la méthode d'Uzawa. Le second chapitre présente une méthode de pénalisation du système matriciel et de bons résultats ont été obtenus pour le Problème 13 du Team Work Shop. Nous avons également comparé cette technique de pénalisation du système matriciel avec celle du problème continu et nous avons conclu que notre technique est plus avantageuse que cette dernière. Le troisième chapitre expose la technique d'arbre en facettes, technique implémentée pour assurer l'unicité du potentiel vecteur. Le quatrième chapitre introduit les multiplicateurs de Lagrange sur les interfaces afin de relaxe les deux contraintes de continuité de la composante tangentielle du champ magnétique et de la composante normale de l'induction. Deux méthodes de résolution sont utilisées: la méthode d'Uzawa et la méthode de condensation statique. De bons résultats numériques sont obtenus. Finalement, une annexe présente un préconditionnement polynômial de la matrice de masse du système matriciel et un code est implémentée pour un domaine à perméabilité constante.