Abstract FR:

Les polynomes de laguerre-hahn sont des polynomes orthogonaux par rapport a une forme reguliere, dont la fonction de stieltjes formelle verifie une equation de riccati. Cette equation peut degenerer de deux manieres differentes. La premiere maniere aboutit a une equation affine ; la forme est appelee semi-classique et sa suite orthogonale est dite semi-classique. La deuxieme maniere aboutit a une equation algebrique du second degre et la forme est dite du second degre. Toute forme du second degre est semi-classique. La reciproque n'est pas vraie, en general. Les formes du second degre les plus connues sont les formes de tchebychev de premiere et seconde especes, leurs formes co-recursives et, plus generalement, les formes de bernstein-szego. L'ensemble des formes du second degre est ferme pour presque toutes les transformations. Nous determinons les coefficients de l'equation du second degre verifiee par les formes associees d'une forme du second degre, ainsi que ceux de ses formes perturbees. Nous determinons toutes les formes classiques qui sont du second degre. En particulier, nous montrons que toutes les formes de laguerre, hermite et bessel ne sont pas du second degre. Seules les formes de jacobi verifiant une certaine condition le sont. Enfin pour une forme du second degre donnee, on etudie le probleme de la determination de toutes les formes regulieres verifiant une certaine relation. On determine tous les elements des suites orthogonales correspondantes en fonction des elements de la suite orthogonale par rapport a la forme donnee. Comme application, on etudie l'inverse d'une forme du second degre. On etudie d'une facon detaillee les inverses des formes de tchebychev de premiere et seconde especes, ainsi que d'autres formes de jacobi. On donne aussi leurs representations integrales