Jacobiennes et cryptographie
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Abstract EN:
In this thesis we study the discrete logarithm problem in the generalized Jacobians. Thus we begin with a description of the discret logarithm problem and the various known attacks. Thereafter we study generalized Jacobians and give the link with the class group of the orders. We then relate our cryptographic goals to these class groups : we give somme applications of cryptography using quadratic fields and we use the class group to construct examples on wich know attacks can be tested. We finish with the study of irreductible nonsingular curves, for them we construct the generalized Jacobians we need. We give bounds for genus and for numbers of rational points for some of these curves, and we derive conditions that can be used to locate the Frobenius angles.
Abstract FR:
L'objectif premier de cette thèse est d'étudier le problème du logarithme discret dans des groupes constitués de jacobiennes généralisées de courbes irréductibles non singulières. Nous donnons tout d'abord un état de l'art de ce problème et de ses diverses attaques connues. Nous étudions ensuite les jacobiennes généralisées et exhibons leurs liens avec des groupes de classes d'ordres. Nous reportons alors nos visées cryptographiques à ces groupes de classes : nous donnons des applications cryptographiques utilisant des corps quadratiques, et nous utilisons les groupes de classes pour construire des exemples permettant de tester les attaques connues. Nous finissons par l'étude des courbes utilisées. Nous donnons des majorations du genre et du nombre de points rationnels de certaines de ces courbes, ainsi que des conditions permettant de localiser leurs angles de Frobenius.